Мне кажется, что когда люди используют это выражение, то они имеют в виду уличных собак, дворняжек. За которыми никто не ухаживает, их никто не лечит, но, тем не менее, они ведь тоже травмируются, и у них все заживает само по себе. Вот и человеку желают того же, чтобы у него все зажило быстро и без длительного лечения и ухода.
| 
Древовидный вид